陳東風(fēng)和李爺🌄😄⏸爺從董明竹家回來😛👅🐉后已經(jīng)快10點(diǎn)了🏼🌶🌑。

    進(jìn)屋后，李爺爺對他說“這段時(shí)間你嬸嬸不容易，她的事情你要多幫😩幫她。”

    “當(dāng)然，我是他侄子，🚭🦎🦊不幫他幫誰？爺爺你放心。🍐🏿💦🏂”陳東風(fēng)肯定的說。

    “那就好，你也知道，這次你文山叔叔去rb治病花了不少錢，光靠兩個(gè)人在單🐚位里的幾十🔵⛏🏻塊工資是不夠的。她想經(jīng)商的想法很好，我很支持她。”

    “現(xiàn)在的萬元戶，哪個(gè)不是做小生意的？嬸嬸只要敢闖，🙋💉現(xiàn)在的華國🍃👩💑是遍地黃金。”陳東風(fēng)對董明竹和李文山以后從商也是很看好的。

    “那就好，我老了，不🎙🗨過還是可以為她跑跑關(guān)系的。好了，你去洗漱吧，早👅🚱點(diǎn)休🐷🧠⚪息。”

    陳東風(fēng)現(xiàn)在哪里還能輕易睡得這么早，好不容易抓住📿🛫✌靈感🕚🦈🕌的尾💽巴，說什么也不能把他丟了。

    其實(shí)陳東風(fēng)在航模的設(shè)計(jì)階段，不怕各種數(shù)學(xué)模♋💌🍟型和理論計(jì)算。他最討厭的是各📢📍💱種葉😵😣🥦輪的工程設(shè)計(jì)圖紙的繪制。

    工程中表達(dá)葉輪表面的方法是投影圖法，通常情況下使用的圓柱坐標(biāo)系中的投影方法是旋轉(zhuǎn)投影以及軸面投影、平面投影。葉輪的軸面投影圖反映了葉輪的總體尺寸和特征，而平面投影相當(dāng)于三視圖里面的俯視圖。需要葉片表面方程Θ＝（r，z）來一步步✔🚩👓畫出空間曲線。就算你畫的再好，到了加工現(xiàn)場加工的時(shí)候也是晦澀難懂，需要專門的技術(shù)人員分析出一步步的運(yùn)動(dòng)指令，效率十分低下。

    陳東風(fēng)看到了貝塞爾曲線是光滑離散化成一段段的微小的直線段的實(shí)質(zhì)，如果可以根據(jù)貝塞爾曲線的特征方程，設(shè)計(jì)出一套切實(shí)可行的算法——把各種曲率的曲線通過命⏱🏹令來生成，那么既可以簡化設(shè)計(jì)中制圖的復(fù)雜程度，也可以根據(jù)曲線各個(gè)離散化的坐標(biāo)點(diǎn)反推出數(shù)控加工的路徑。所以如果陳東風(fēng)可以設(shè)計(jì)的出來那將是一舉兩得的。

    70年代現(xiàn)在國際上的流行算法是（以一次方貝塞爾曲線為例）需要在兩個(gè)定點(diǎn)a、b之間，在選定特定u的情況下在曲💔線上找到點(diǎn)c(u)。一個(gè)簡單的方法是把u插到每一個(gè)基函數(shù)上，計(jì)算每個(gè)其與基函數(shù)的乘積以及其相應(yīng)🔏👶的🕷💇💱控制頂點(diǎn)，最后將其相加。

    雖然這種方法很好，但是缺乏數(shù)值穩(wěn)定性，尤其是在計(jì)算伯恩斯坦多項(xiàng)式的時(shí)候可能引進(jìn)數(shù)值誤差。當(dāng)然算法都📭🌆是各個(gè)cad軟件的核心，是不會(huì)輕易示人的。

    還有就是一款好的cad軟件不管是算法重要，它的控制核心🧖😭〰也是📸非常重要，當(dāng)然現(xiàn)在陳東風(fēng)也沒考慮到這些，只是想先把算法設(shè)計(jì)出來。

    陳東風(fēng)也是發(fā)了狠，不設(shè)計(jì)出這個(gè)算法，連門都懶的出了，過年前的衛(wèi)生也🔗🚃🧛忘記打掃了。好在李爺爺看他鉆研辛虧，毫不計(jì)較，盡心盡力的為他做好了后勤工作。

    終于，陳東風(fēng)在大年三十前把這套他自己命名的比例切割算法🌝💅給設(shè)計(jì)出來了。靈感來⏭👼自于華🏘國歷史上著名的數(shù)學(xué)家祖沖之的割圓術(shù)，割圓術(shù)目的是等分圓之后取得正多邊形，而他的比例切割是取一個(gè)特定的比例來逼近一個(gè)特殊的曲線。

    簡單來講比例切割算法（以一次貝塞爾曲線為例）的基本觀點(diǎn)是選擇在ab中的一個(gè)點(diǎn)c，c將ab分為u:🤨🏴1-u(a到c的距離與ab之間的距離之比是u)，讓我們找到?jīng)Q定c在哪里的方法。

    從a到b🙅🥎👗的向量是⛪b-a。因?yàn)閡是在0和1之間的比率，點(diǎn)c位于u(b-a)。將a的位置加以考慮，點(diǎn)c為a+u(b-a)=(1-u)a+ub。因此，對于給定的u，(1-u)a+ub是在a和b之間的點(diǎn)c，將ab分為u:1-u的兩段。

    更加具有普遍性的比例切割算法的想法如下是假設(shè)我們想要找到c(🚉🍢u)，u在[0，1]中。由第一個(gè)多段線p0-p1-p2-p3-pn開始，利用上面的法則找到在線段上的點(diǎn)p1i，p1i在p0i到p0(i+1)的連線上并且將這段線分為u:1-u🚅的兩部分。依次地，我🌠🐙們可以得到n個(gè)點(diǎn)10，11，12，，1(n-1)，他們定義了一個(gè)新的多段線，一共有n-1段。

    新點(diǎn)由1i進(jìn)行標(biāo)記，再次利用上面的規(guī)則我們可以得到第二個(gè)多段線，具有n-1個(gè)點(diǎn)（20，21，，2(n-2)）和n-2條邊。從這個(gè)多段線開始，進(jìn)行第三次，得到新的多段線，由n-2個(gè)點(diǎn)30，31，，3(n-3)和🤪n-3條邊組成。重復(fù)這個(gè)過程n次得到一個(gè)點(diǎn)n0。

    以🚚🙆⤴上想法只是給定了比例切割想法的幾何🛄🔔解釋，而實(shí)際計(jì)算需要一個(gè)具體的計(jì)算方法。

    首先，對于每一對臨近的控制點(diǎn)，可以畫出一條右上方和右🚤📑🚍下方的箭頭（類似于楊輝三角），并且在兩個(gè)箭頭的交點(diǎn)處寫下一個(gè)新點(diǎn)。例如相鄰的兩個(gè)點(diǎn)分別為ij和i💌🥡🔽(j+1)，新點(diǎn)是(i+1)j，右下方（相對應(yīng)的左下方）的箭頭表示將其尾數(shù)ij（相對應(yīng)的為i(j+1)）乘以1-u（相對應(yīng)的乘以u），新的點(diǎn)是兩個(gè)的和。

    因此，從初始的第0列開始，我們計(jì)算第1列。之后從第1列得到第2列。最終，在n次計(jì)算之后我們最終到達(dá)了一個(gè)🐍🚐👠單個(gè)的點(diǎn)n0并且這個(gè)點(diǎn)就是在曲線上的點(diǎn)。下面的算法總結(jié)了上面我們討論的內(nèi)容，輸入的是具有n+1個(gè)點(diǎn)的數(shù)列p和在0到1之間的u，最終得到在貝塞爾曲線上的點(diǎn)c(u)。

    這個(gè)計(jì)算過程可以用遞歸的方法表示，對于j=0，1，，n🍇用p0，j表示pj，也就是p0，j是第0列的第j項(xiàng)元素，在第i列計(jì)算第j項(xiàng)如下p(i，j)=(1-u)p(i-1，j)+up(i-1，j+1)，(i=1，2，n;j=0，1，💪🐣🍥2，n-i)

    元素pi，j是(1-u)🤹🔄pi-1，j（左上方元素）和upi-1，j+1（左下方元素）的和，最終的結(jié)果（在曲線上的點(diǎn)）是pn，0在這種想法的基礎(chǔ)上，通過編程🏉🚔就可以得到基本的算法程序。

    在這個(gè)基本算法的基礎(chǔ)上，陳東風(fēng)還需要對螺旋線🤹🧝🦅、球面螺旋線、雙弧外擺線和星行線、心臟線、圓內(nèi)螺旋線、正💗弦曲線、太陽線和費(fèi)馬曲線等等幾百種曲線給出需要選定的控制點(diǎn)數(shù)量和控制比例u。這個(gè)工作如果沒有計(jì)算機(jī)的幫助的話，估計(jì)他這輩子都得耗在這上面了。

    “好在，通用的算法以及計(jì)算出來了，可能有迭代算法效率的不高的問題，但是計(jì)算機(jī)應(yīng)該可以克服。”陳🤹東風(fēng)一邊自言自語，一邊站了起來，往窗外一看天快黑了😮🛳🦄，正好肚子有點(diǎn)餓，把桌子上堆成小山的草稿紙整理下后，就出了房間。